朋友们！别再看日历想着AP微积分还有几天就要考试了，现在女娲补天还来得及~这里有一份AP微积分AB的佛脚指南，还不快来抱抱佛脚渡了微积分AB这个劫？考AP微积分BC的朋友们别滑走，毕竟AB考的知识点BC肯定也要考~

首先，说说需要特别注意的2点：

（1）计算器一定要在最后的时间熟练使用，别在考试的时候第一次按计算器，不然会发现自己手里的是一块一千多元的板砖；

（2）喜欢心算但正确率貌似还有待提高的朋友们，放弃心算吧，不能用计算器的选择和简答题对运算的能力要求并不是很高，一步一步在草稿纸上演算时间也完全来得及，毕竟这考试没有提前交卷奖~

进入正题，讲讲必须知道的预备微积分知识。最后要紧关头，如果出现知识点都熟悉但依然做不对题目的情况，原因就是这些老朋友遗忘啦：

◆ 三角函数

◆ 指数函数

◆ 对数函数

◆ 初等函数图像

下面我们逐一提点这些知识点在AP微积分考试中所考察的形式：

1.三角函数

（1）三角函数特殊角度的值

如果记不住怎么办？第2列至第4列的特殊值可以通过下方的两个特殊直角三角形记忆：

（2）三角函数的基本公式

学过三角函数的同学们都知道三角函数的公式不可不谓纷繁复杂，记公式记得让人偏头疼，上述的公式已经精简很多啦，不能再偷懒不记！

2.指数函数

指数函数还是很重要的，尤其是需要同学们注意其曲线和计算法则：

计算法则尤其要注意这四个：

3.对数函数

AP考试中着重考察以e为底的对数：

需要提醒大家下列常考函数值和公式：

4.初等函数图像

AP考试默认大家都非常熟悉初等函数的图像，还不熟悉的同学抓紧记忆！

接下来将是我们的重头戏，AP微积分AB和BC都要考的知识点！

◆ 极限计算

◆ 连续与可导关系

◆ 导数计算

◆ 导数应用

◆ 积分计算

◆ 积分应用

1.极限

极限计算想必大家都胸有成竹，那么请看下面这道题目：

有没有同学直接脱口而出是4的同学！赶紧再注意下极限的定义！

需要大家注意的是, approaches的意思是接近，不是等于，因此例题的答案是直接代入计算，为2。

那么我们看下极限在考试中如何考察：

（1）从代数的角度考察，最简单的就是问大家连续函数在某点处的极限值：

（2）从代数的角度考察，需要因式分解的类型：

（3）从代数的角度考察，直接抓分子和分母最高次数所在的那一项（切记带上正负号）：

（4）从代数的角度考察，注意打开绝对值的时候需要判断式子的正负：

（5）从代数的角度考察，用洛必达法则计算极限（上述（2）（3）均可以使用洛必达法则计算）。洛必达法则使用条件：分子或者分母的极限均为0或者均为无穷。

大家可以发现，有的时候用洛必达法则其实也没那么方便，比如上面的第二道题目就用了两次洛必达法则，远不如之前提到的方法快。

（6）从函数图像的角度考察，大家注意函数图像中实心点和空心点的意义！

哦对了，不会还有人看到这儿不知道如何判断函数在某点的极限是否存在吧？看看上面这道题函数在x=2处是否存在极限？

函数在某点存在极限的定理：

当然不存在！说存在的同学赶紧睁大眼睛仔细看函数在x=2处的左右极限是否相等！

2.连续与可导关系

（1）函数在某点连续的定理：

上面这三个条件可以简化为：如果要判断函数在某点连续，只需要函数在该点处的极限值等于在该点处的函数值即可。请大家再仔细看这幅图，判断一下函数是否在x=6的时候连续。

当然不连续！原因如下：

函数在x=6这一处的极限值和函数在x=6的取值明显不相等，因此函数在x=6处不连续。

（2）水平渐近线与竖直渐近线

水平渐近线的定义与求水平渐近线的方法一致：

因此，上面这道题目中的水平渐近线为y=1。

竖直渐近线的定义与求竖直渐近线的方法不太一致：

下面是一道求解竖直渐近线的例题：

这个过程可以简记为：令约分之后的分母等于0，所得到的解就是函数的竖直渐近线。

接下来的重点大家务必厘清：

（3）导数的概念

The slope of the line tangent to the graph of f(x) at x=3，读完还是脑袋空空的同学，赶紧往下看！题干中如果出现这么一串英文，那就是明示：要你求函数在x=3处的导数值！当然也不乏有些题目就是让诸位求切线的斜率~

还不熟悉考试中表示求导的符号的同学注意了！

（4）连续与可导的关系

想必这个时候大家都对“连续未必可导，可导一定连续”烂熟于心，但是如果函数不可导就一定不连续吗？

上面两幅图中，函数在x=2处均不可导，但左边的函数在x=2处不连续，右边的函数却在x=2处是连续的!

（5）介值定理

看到这么一长串英文，即使翻译过来也不太懂啥意思？看看下面的对比图加深理解：

看了这么多，试着看下一道真题：

答案选B，这道题就考察了介值定理的条件，只有函数在(-1,2)区间连续的时候，才会满足题目所设条件。

3.导数计算

（1）基本求导公式

让我来瞅瞅还有谁不清楚基本求导公式的！AP考试在即，想必还有不少同学仍苦苦挣扎那么多那么多的求导公式，精简版来也！

是谁还在将函数y=e2求导后等于2e! y=e2是常函数啊朋友们~是谁还在将函数y=x2求导后等于x！注意先将次数落下来然后指数再减去1。

还有朋友指数函数和幂函数分不清吗！赶紧看看自变量x的位置在哪儿，x在底数就是幂函数，x在指数就是指数函数，公式赶紧多对比看看！

又到了可爱的三角函数！三角函数的求导公式和积分公式千万千万不要记混了，如果现阶段感觉还是很容易记混赶紧将它们放一块天天看！

反三角函数求导冷不丁地在考试时出现也是挺让人挠头的，尤其是隐函数求导那一块。

（2）导数的计算法则

导数的加减法法则：

上面两个法则其实在说一件事，两个函数的和或者差求导，那就直接求导完事~

导数的乘法法则：

前导后不导加上后导前不导，赶紧把这个口诀拍到记忆面包塞进脑子里~

导数的除法法则：

上导下不导减去下导上不导，除以下面的平方；分子导乘以分母不导减去分母导乘以分子不导，除以分母的平方。任君选一个记忆~

特别提醒：导数的乘除法法则其实还是有点麻烦的，想要当偷懒冠军，务必得有孙悟空般的火眼金睛，比如下面这道题：

用导数的除法法则就会稍微麻烦一点：

（3）链式法则

之前听很多同学都跟我说链式法则求导就像剥洋葱，李宗伟的那首《洋葱》就一直单曲循环中~

现在大多数同学基本都会一步到位求复合函数的导数，还不太明白的同学们赶紧看下面的步骤：

稍微难一点的题目会让大家使用两次甚至多次链式法则，主要出现在三角函数当中：

此外，链式法则对于分子为一个常数的有理函数求导尤其有用：

对于这种类型的函数求导，有部分同学选择使用导数的除法法则，不过因为自己并不是偷懒冠军，很容易出现如下错误：

大家先看下用导数除法法则的正确版本：

想必大家都已经看到了，偷懒季军想着分子是常数，求导后为0，乘分母还是为0，就没有写分子导乘分母不导的结果，顺带着就忘掉了导数除法法则的减号！再回忆一下口诀：分子导乘分母不导减去分母导乘分子不导，除以分母的平方。

（4）隐函数求导

什么？你不知道什么是隐函数？先看下面两个简单的例子：

第1个例子实际上就是用了基本求导公式，而第2个公式却用了链式法则chain rule，所以隐函数求导的本质实际上就是将y处理为关于x的复合函数，用chain rule的时候外层导数的结果和之前一样，而内层导数需要写成dy/dx的形式。

试看一道隐函数求导的例题：

上面一共有4步，其中第1步决定了最终的求导结果是否正确：第1步实际上是等式左右两边同时对x求导，y3，y2，-5y均需要使用chain rule，其他的照常求导即可。

而后面几步可以理解为解一个未知数为dy/dx的方程，含有dy/dx的式子放在等式的一边，不含有dy/dx的式子放在等式的另一边，最后除以dy/dx式子的系数即可。

（5）反函数求导

反函数求导一直是大家的一个老大难问题，始终被反函数和原函数的横纵坐标关系以及反函数求某一点的导数值到底是代哪一点的横坐标给绕晕。

首先我们得认识题干中反函数是如何表示的：

注意那不是函数f(x)的负一次方！而是函数f(x)的Inverse function反函数！

其次，我们还得知道原函数和反函数关于直线y=x对称的两点坐标关系：

比如已经知道原函数有一点的坐标为(1,2)，那么反函数关于直线y=x对称所得到的对应点的坐标就应该是(2,1)。

最后，微积分要求我们掌握的知识是：

目前大家都选择的记法是：反函数的导数值等于原函数导数值的倒数。

首先，我们需要求出原函数在某点处的导数值，这意味着我们需要知道原函数求导之后的结果，以及代入的数值具体是多少。原函数求导直接用基本求导公式即可。

其次，题干中(f－¹）’(1)告诉我们反函数上有一点，横坐标为1，那么我们就可以推出原函数上有一点，纵坐标为1，也就是说f(x)=1。此时我们需要解出这个方程，一般这种情况下都需要猜根，猜根的数字是0,-1,1,2,-2。

再者，这个时候我们已经知道了原函数有一点的坐标为（0,1），即知道了原函数求导时需要代入的数值是x=0。

最后，求出原函数在点(0,1)处的导数值为2，取其倒数就得到了反函数在对应点的导数值为1/2。

4. 导数的应用

（1）函数在某一点的切线方程和法线方程

在AP微积分考试中，建议同学们习惯使用点斜式：

不过上面这个式子中的斜率是什么？当然是函数在(x1,y1)处的一阶导的数值！那么normal line法线又是什么东东？其实，法线就是垂直于切线的一条直线，预备微积分学得顶呱呱的同学想必已经知道了法线的斜率如何求了，那就是一阶导数值的负倒数。试看下面的例题加深理解：

（2）线性近似

上述公式需要注意题干中如何描述c和x，一般题目会说find the approximate value/ approximation for f(2.1)，那么x=2.1，by using the line tangent to the graph of f(x) at x=2，那么c其实就是2。各位同学再结合下面的例题加深对公式的理解吧~

（3）微分中值定理

这个式子有两种理解和出题方式：

第一种是f(x)在x=c的instantaneous rate of change等于f(x)在[a,b]的average rate of change，而题干中出现这两个变化率的时候Mean Value Theorem往往也不会出现。

另外一种则是the slope of the line tangent to the graph of f(x) at x=c等于the slope of the secant line passing through (a, f(a)) and (b, f(b)).大家可以结合下图从几何的角度加深理解，需要注意的是，两条直线的斜率相等，其位置关系为两条直线平行。

（4）相关变化率

相关变化率的题目一般情况下都是求某个量对时间的变化率，相关变化率有两个难点：

第一个难点是读题，看下方表格出现的常见题干描述和对应的式子：

第二个难点是求导，这里需要尤其注意相关变化率的题目实质上是隐函数求导，体积和半径这两个变量实际上都随着时间的变化而变化，而体积和半径又一个关系，这在这个关系式中时间t被隐藏了。结合下方例题加深对related rates的理解：

（5）运动学

想必学了物理的同学们都很清楚位移、速度、加速度之间的关系，什么？你说你没学过？那还不赶紧看赶紧记！

此外，还需要大家注意，一维运动学当中（题干一般会出现a particle moves along the x-axis或者a straight line），粒子运动的方向朝右（moving to the right）时velocity大于0，方向朝左时velocity小于0。那么考考大家，如果题目问，在时间t取何值的时候粒子的运动方向由右改为了左，这道题目该如何求解呢？

实际上，我们只需要将速度的解析式输入到计算器里面（需要各位笔算的速度解析式一般为二次函数），然后去寻找函数图像穿过x轴时由上方到下方的那个零点即可。

（6）函数图像性质

看到这个小标题大家有没有想起来什么？我先提一下吧：local maximum, absolute minimum, point of inflection…突如其来的暴击有没有敲醒各位沉睡的心灵？

首先大家需要知道的是函数的增减性：

给出一个函数的图像，大家需要直接判断其增减性：

从代数的角度，即通过函数的一阶导判断函数的增减性：

简单的例题就会直接问大家函数在哪些区间为增函数或者减函数，实际上题目的等价条件就是，函数的一阶导大于0的不等式或者小于0的不等式解集为多少~

其次，函数的极大值或者极小值(relative/ local maximum or minimum)是指在函数某一区域内，函数的值最大或者最小，但不是整个函数区间内，函数的值最大或者最小。具体求法和函数一阶导的正负变化有关系：

大家可以通过上述的图像联想记忆，不管函数在某点是取得极大值还是极小值，函数在该点处的一阶导一定等于0；如果是极大值，一阶导由正到负，如果是极小值，一阶导则由负到正。

此外，经常会在简答题出现如下的一种题干：

这里的critical point是啥？不知道的同学赶紧记在脑子里：一阶导等于0或者一阶导不存在的点的坐标。

再者，复习完了函数的增减性还有凹凸性！

从图像的角度看，f(x) concaves up则函数图像开口向上，f(x) concaves down则函数图像开口向下，这里的中英文翻译就是对应上的，而concaves up翻译过来为向下凹，concaves down翻译过来为向上凸，则需要反过来记忆。不过还有另外一种方法，也是同学们想出来的：concaves up取u，开口向上；concaves down，取n，开口向下。

以及还需要请大家注意图片中的图题，均指明了过函数图像任意一点所做切线与函数图像本身的位置关系，如果切线一直都在函数图像的下方，则函数concave up，如果切线一直都在函数图像的上方，则函数concave down。这个结论看起来平平无奇，曾经也有考题考过这一知识点，很多同学都没反应过来这是在干啥呢！

上面这道例题的答案是不是给了图像之后一眼就看出来是E选项~

哎等等！是不是还没有从代数的角度告诉大家如何判断函数在哪些区间为concave up和concave down?

结合下方例题理解：

看到这儿，是时候放出这张图，帮助各位厘清原函数、一阶导、二阶导这纠缠不清的三角关系：

仔细看一阶导这个双重间谍！一阶导的正负决定了原函数的增减性，而一阶导的增减性则决定了原函数的凹凸性，这句话就足以让一阶导成为简答题的常客啊有木有！告诉各位一阶导图像，问原函数某点的数值，咱得积分，而问一阶导对应的原函数的凹凸性，这里就不能再求导了（给一阶导图像可别想着梵高附体画二阶导图像），而是直接看一阶导的增减性即可。

别走！知道大家看到这里已经很爆炸了，还有个知识点直接将大家送到云霄！没发现还没说啥是point of inflection吗?

简单处理：函数凹凸性改变的点就是拐点，point of inflection。如果让大家从代数的角度寻找函数的拐点，则需要分情况讨论：

1. 给原函数的解析式，从定义出发，求原函数的二阶导，之后找到二阶导的零点，但需要该零点穿过x轴。

2.给一阶导的解析式，多是需要计算器的选择题，有两种做法，第一种做法是寻找一阶导在题目给定区间内的极大值和极小值；第二种做法是再求一次导，寻找穿过x轴的零点。

3.给二阶导的解析式，找二阶导等于0且穿过x轴的点。

5. 积分计算

是谁还不认识积分符号那一飘逸的秀发！是谁求定积分的时候压根没有积分直接将上下限代入到被积函数中然后作差，然后质疑答案出错？赶紧往下看朋友们~

（1）不定积分基本公式

第一个积分公式最重要，赶紧看看以下问题能否顺利回答？（答案都在图片中）

1.被积函数为一个常数，积分结果是？

2.被积函数为根号x分之一，积分结果是？

还需要给大家提醒的是：求导大家都觉得很简单，因为是顺着把指数落下来，但积分却是求导的逆运算，需要倒腾回去，让人不太舒服。所以做题的时候可以自查一下，求不定积分自我感觉非常顺的时候大概率是在求导。以及在求不定积分的选择题中，大概率会有一个错误选项是求导的结果，剩下的就是柯南三选一~

经常也有同学分不清指数函数的不定积分结果是啥，然后就误选了如下的错误选项：

这是神马！啥时候指数为变量的时候积分居然直接加1！大胆！

三角函数的不定积分和求导结果还在混淆吗？这就把三角函数的结果再放出来对比记忆：

这个公式需要特别说明的是，u必须得凑成一个平方：

（2）不定积分的计算法则

啥？你说你知道不定积分的乘除法法则？是说知道f(x)和g(x)的不定积分，就知道了f(x)g(x)的不定积分？还真是艺小人大胆啊！看清楚了朋友们，不定积分以及之后的定积分只有这两种计算法则：

试看一道例题：

都是幂函数的话就直接用power rule（指数加1除以指数加1）积分即可。

（3）换元积分法

大部分换元积分法换掉的式子，都有以下特征：带了常数、在括号里面，以及最关键和最本质的是：换掉的式子求导之后x的degree和没有换掉的式子x的degree一样。

换元积分法常考题型如下：

1.多项式

2.被积函数出现了根号，且根号里面为多项式

3.三角函数

4.以e为底的指数函数

（4）黎曼和

黎曼和本质上是近似定积分数值的一种方式，分为:以矩形的面积之和近似定积分的数值Left Riemann Sum, Right Riemann Sum, Midpoint Riemann Sum和以梯形的面积之和近似定积分的数值 Trapezoidal Riemann sum。不过在此之前需要再提醒一下各位定积分的定义：

大家注意！如果函数图像与x轴在给定区间内围成的区域在x轴的下方，那么定积分的数值被人为规定负！有一类积分需要特别提醒：

这种带根号的被积函数其实是一个在x轴上方的半圆，由于积分的意义表示的是面积，故直接从几何的角度出发求出该定积分。

知道定积分表示的意义之后，我们回过头看一下黎曼和：

第一类黎曼和，即左黎曼和、右黎曼和、中点黎曼和，都是用矩形的面积之和近似定积分所表示的不规则区域的面积，下面的图片中，均将区间分为等长的子区间，以左边的函数值作为矩形的高再求和就称之为左黎曼和，以右边的函数值作为矩形的高再求和就称之为右黎曼和。

而以子区间的中点所对应的函数值作为矩形的高再求和就称之为中点黎曼和。

第二类黎曼和，即梯形黎曼和，以梯形的面积之和近似定积分所表示的不规则区域的面积。（梯形的面积怎么求？（上底+下底）乘高除以2）

（5）微积分第一基础理论

大家不用担心考试会考察理论名字和内容的匹配，只需要知道这个理论的内容即可，上面刚刚提及了用黎曼和近似定积分的数值，那么如果要精确算出定积分的数值呢？

这里一定要提醒大家，被积函数为f(x)时，务必要积分，然后再代入上下限作差。

（6）定积分的性质

第一个性质主要会在洛必达法则求极限的时候出现（0比0极限），即定积分的上下限相同时定积分的数值为0；第二个性质则表明，如果我们要交换定积分的上下限，要添一个负号。结合下方两个式子加深理解：

这个性质类似于，要从a到b积分，先从a到c积分，然后从c到b积分。像极了大家的学习！

以及最后两个性质其实大家在不定积分计算的时候就已经遇到过~

两个或者多个函数的差或者和求定积分，可以分别求出其定积分然后相加或者相减；以及一个函数前面乘以某个常数求定积分，可以先算函数的定积分然后再乘上常数~

（7）微积分第二基础理论

大家一定要好好看这理论在说啥！形式上是先对一个函数积分，然后又求导了对不！公式是啥？上限是x且又是对x求导的话，求导结果就是直接将被积函数写为以x为自变量的式子。

上面这道例题是不是很容易就写出来了~可别真的想着先对被积函数积分（这种题目大概率没法积分）然后再求导了，公式用起来！以及公式一出现，有种伟大的考法就是将积分的求导结合起来，看下面的一道例题感受下这一连接微分和积分的桥梁如何应用：

如果上限是关于x的函数怎么办？求导（注意得对x求导且上限为x的函数）结果可以这么处理：（将上限直接代入到被积函数的结果）乘（上限对x求导的结果）。

6. 积分应用

（1）函数平均值

这个公式要是给应用题包装一下大家就稍微有点反应不过来，这样处理：这个考试一共就两个“平均”，一个是平均变化率(average rate of change)，它在题干中的形式是不会被替换的，求法就是：

而平均值在应用题中则不会那么特别老实地给各位写为average value，而是会随着题目中的变量名称变化而变化：

上面这道例题中h(t)表示的是心跳速率，那么average heart rate就是平均心跳速率，也就是函数h(t)的平均值。

（2）面积

第一种考法就是求单一函数图像在给定区间（一般情况下就是从y轴，即x=0，另外一条竖直直线）与x轴所围成的区域的面积，这种直接积分就好~（切记函数图像不能穿过x轴才能直接积分，如果穿过了x轴怎么办？在x轴上方的区域还是直接积分，在x轴下方的区域直接积分需要添加一个负号，面积就不会为负值。）

第二种考法就是考察两条函数曲线所包围形成的面积：

分两步，第一步需要大家联立两个函数的解析式求出交点的横坐标（对x积分难不成还要将纵坐标视为上下限吗？）作为定积分的上下限，第二部则需要大家确定谁更远离x轴和谁更靠近x轴，即判断两个函数在给定区间内的大小关系。

如果两条函数图像或者其中一条函数图像在x轴下方，上述这个定理同样适用：

（3）体积

体积这儿需要理解以下三种形成体积的方式和如何积分的原理，别一直想象立体长啥样，毕竟有的立体真得很难想象~

1.Disk：无数个圆片在给定区间内叠加得到的固体。

试看下方例题：

2.Washer：无数个圆环在给定区间内叠加形成的固体。

3.Cross section：无数个垂直于x轴的给定形状的横截面在给定的区域内累计形成得到固体。（感觉很拗口？想想扑克牌，单张扑克牌的体积可以忽略不计，但是几十张扑克牌放到一起形成的体积还能忽略不计吗？）

常见的横截面形状有：半圆(semi-circle)、正方形(square)、矩形(rectangle)、等腰直角三角形(Isosceles right triangle，腰leg, 斜边hypotenuse)、等边三角形(equilateral triangle)，赶紧把这些图形的英文记下！

（4）运动学

先放出这张图看看大家有没有印象：

定积分出现运动学这一知识点，那就是直接逆回去积分即可：

考试还经常考察的一组易混淆的概念，distance（题干的另一种描述：how far，走了多远）和displacement：

Displacement直接对velocity积分即可，而distance则需要对velocity的绝对值积分，distance是标量，没有正负。试看下面的一道例题区分两者：

（5）累积变化量

这个知识点就是考察定积分在实际生活中的应用题，基本上读懂题列出定积分就能做对~

试看下方例题：

特别提醒：上面的解题过程中，使用了换元积分法u-substitution求定积分，务必换掉上下限！再看一次定积分的意义：

上下限都是针对x的，且后面的dx意思是对x积分，那么换元之后被积函数的自变量为u，dx换成了du，即对u积分，那么上下限也应该为u的范围。大家一定要注意这里！

7. 微分方程

（1）可分离变量的微分方程求解

AP微积分考试考察大家的是求解可分离变量的微分方程，即给含有一阶导的方程要大家解出y和x的关系式：

一共分为四步：

分离变量，只含有y的式子和dy放在等式的一边，只含有x的式子或者常数和dx放在等式的另一边；

积分，等式左右两边分别对y和x积分，注意这里是不定积分，习惯上把常数C写在右边（对x积分的结果这边）；

定常数C，上面这道题给的是y(0)=-ln4，意思是当x=0的时候y=-ln4，代入到不定积分的结果中即可求出常数C；

化简整理式子，习惯上我们要将函数写为y=f(x)的形式，换言之，y不能在指数，y不能在分母、y不能在对数里面。

（2）增长和衰退模型

试看下方例题加深理解：

（3）斜率场

斜率场的那些短线其实就是过函数任意一点做的切线，在很难求出微分方程所对应的原函数时，通过斜率场的图像也能知道很多信息~

考点主要集中在，由一阶导的数值正负判断横线的方向：

一阶导为正，短线为右上；

一阶导为零，短线为水平；

一阶导为负，短线为右下。

May the 5 be with your AP Calculus AB & BC!

7天冲刺AP微积分5分！这个佛脚我先抱为敬

进入正题，讲讲必须知道的预备微积分知识。最后要紧关头，如果出现知识点都熟悉但依然做不对题目的情况，原因就是这些老朋友遗忘啦：

1.极限

极限计算想必大家都胸有成竹，那么请看下面这道题目：

5. 积分计算